[지연/week6] 그래프의 개념과 정의, 탐색 방법

그래프(Graph)의 개념

단순히 노드(N, node)와 그 노드를 연결하는 간선(E, edge)을 하나로 모아 놓은 자료 구조

즉, 연결되어 있는 객체 간의 관계를 표현할 수 있는 자료구조다. (예) 지도, 지하철 노선도의 최단 경로, 도로, 선수 과목 등

그래프는 여러 개의 고립된 부분 그래프(Isolated Subgraphs)로 구성될 수 있다.

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그래프와 관련된 용어

|용어|설명| |:—:|:—-| |정점(vertext)|위치라는 개념. (node라고 부름)| |간선(edge)| 위치 간의 관계. 즉, 노드를 연결하는 선(link, branch라고 부름)| |인접 정점(adjacent vertex)|간선에 의해 직접 연결된 정점| |정점의 차수(degree)|무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수 </br> 무방향 그래프에 존재하는 정점의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선의 수의 2배| |진입 차수(in-degree)|방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수라고도 부름)| |진출 차수(out-degree)|방향 그래프에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수라고도 부름) </br> 방향 그래프에 있는 정점의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수) |경로 길이(path length)|경로를 구성하는데 사용된 간선의 수| |단순 경로(simple path)|경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우| |사이클(cycle)|단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우|

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그래프의 특징

• 그래프는 네트워크 모델이다.
• 2개 이상의 경로가 가능하다.
  • 즉, 노드들 사이에 무방향/방향에서 양방향 경로를 가질 수 있다.
• self-loop 뿐 아니라 loop/circuit 모두 가능하다.
• 루트 노드라는 개념이 없다. 부모-자식 관계라는 개념도 없다.
• 순회는 DFS나 BFS로 이루어진다.
• 그래프는 순환(Cyclic) 또는 비순환(Acyclic)dlek.
• 그래프는 크게 방향 그래프와 무방향 그래프가 있다.
• 간선의 유무는 그래프에 따라 다르다.

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그래프의 종류

무방향 그래프 vs 방향 그래프

1. 무방향 그래프 (Undirected Graph)
   • 무방향 그래프의 간선은 간선을 통해서 양방향으로 갈 수 있다.
   • 정점 A와 정점 B를 연결하는 간선은 (A, B)와 같이 정점의 쌍으로 표현한다.
   • (A, B)는 (B, A)와 동일 - EX) 양방향 통행 도로
2. 방향 그래프 (Directed Graph)
   • 간선에 방향성이 존재하는 그래프
   • A->B로만 갈 수 있는 간선은 <A, B>로 표시한다.
   • <A, B>와 <B, A>는 다르다. - EX) 일방 통행

가중치 그래프(Weighted Graph)

• 간선에 비용이나 가중치가 할당된 그래프
• 네트워크(network)라고도 한다.
  • ex) 도시-도시의 연결, 도로의 길이, 회로 소자의 용량, 통신망의 사용료 등

연결 그래프 vs 비연결 그래프

1. 연결 그래프 (Connected Graph)
   • 무방향 그래프에 있는 모든 정점 쌍에 대해서 항상 경로가 존재하는 경우
   • EX) 트리 (Tree) : 사이클을 가지지 않는 연결 그래프
2. 비연결 그래프 (Disconnected Graph)
   • 무뱡향 그래프에서 특정 정점쌍 사이에 경로가 존재하지 않는 경우

사이클 vs 비순환 그래프

1. 사이클 (Cycle)
   • 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우
   • 단순 경로 (Simple Path) : 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
2. 비순환 그래프 (Acyclic Graph)
   • 사이클이 없는 그래프

완전 그래프 (Complete Graph)

• 그래프에 속해있는 모든 정점이 서로 연결되어 있는 그래프
• 무방향 완전 그래프
  • 정점수 : n이면 간선의 수 : n*(n-1)/2

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그래프의 구현 2가지

1. 인접 리스트 (Adjacency List)

인접 리스트(Adjacency List)로 그래프를 표현하는 것이 가장 일반적인 방법이다.

• 모든 정점(혹은 노드)을 인접 리스트에 저장한다. 즉, 각각의 정점에 인접한 정점들을 리스트로 표시한 것이다.
  • 배열(혹은 해시테이블)과 배열의 각 인덱스마다 존재하는 또다른 리스트(배열, 동적 가변 크기 배열(ArrayList), 연결리스트(Linked List)등)를 이용해서 인접 리스트를 표현

      0: 1
      1: 2
      2: 0, 3
      3: 2
      4: 6
      5: 4
      6: 5
    

  • 정점의 번호만 알면 이 번호를 배열의 인덱스로 하여 각 정점의 리스트에 쉽게 접근할 수 있다.
• 무방향 그래프(undirected graph)에서 (a,b)간선은 두번 저장된다.
  • 정점의 수 : N, 간선의 수 : E 인 무방향 그래프의 경우 N개의 리스트, N개의 배열, 2E개의 노드가 필요
• 트리에선 특정 노드 하나(루트 노드)에서 다른 노드로 접근이 가능 -> Tree 클래스가 불필요 </br> But 그래프에선 특정 노드에서 다른 모든 노드로 접근이 가능하지 않은 -> Graph 클래스가 필요함!

  class Node{
    public String name;
    public Node[] children;
  }
  class Graph{public Node[] nodes;}
  

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2. 인접 행렬 (Adjacency Matrix)

인접 행렬은 NxN 불린 행렬 (Boolean Matrix)로써 matrix[i][j]가 true라면 i->j로의 간선이 있다는 뜻이다.

• 0과 1을 이용한 정수 행렬(Integer Matrix)을 사용할수도 있다.

  if(간선 (i, j)가 그래프에 존재)
    matrix[i][j] = 1;
  else
    matrix[i][j] = 0;
  

• 정점(노드)의 개수가 N인 그래프를 인접 행렬로 표현
  • 간선의 수와 무관하게 항상 n^2개의 메모리 공간이 필요하다.
• 무방향 그래프를 인접 행렬로 표현한다면 이 행렬은 대칭 행렬이 된다.
• 인접 리스트를 사용한 그래프 알고리즘들(ex. 너비 우선 탐색) 또한 인접 행렬에서도 사용이 가능하다.
  • 하지만.. 인접 행렬은 효율성이 조금 떨어진다.
  • 인접 리스트는 어떤 노드에 인접한 노드를 쉽게 찾을 수 있지만 인접 행렬에서는 인접한 노드를 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야 한다.

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인접 리스트와 인접 행렬 중 선택 방법..?

• 인접 리스트
  • 그래프 내에 적은 숫자만을 가지는 희소 그래프(Sparse Graph)의 경우
  • 장점
    • 어떤 노드에 인접한 노드들을 쉽게 찾을 수 있다.
    • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N+E)안에 찾을 수 있다.
  • 단점
    • 간선의 존재 여부와 정점의 차수 : 정점 i의 리스트에 있는 노드의 수, 즉 정점 차수만큼의 시간이 필요하다.
• 인접 행렬
  • 그래프에 간선이 많이 존재하는 밀집 그래프(Dense Graph)의 경우
  • 장점
    • 두 정점을 연결하는 간선의 존재 여부 (M[i][j])를 O(1)안에 즉시 알 수 있다.
    • 정점의 차수는 O(N)안에 알 수 있다. -> 인접 행렬의 i번째 행 또는 열을 모두 더한다.
  • 단점
    • 어떤 노드에 인접한 노드들을 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야한다.
    • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N^2) 안에 알 수 있다.

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그래프의 탐색

1. 깊이 우선 탐색 (DFS, Depth-First Search)

루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 다음 분기(branch)로 넘어가기 전에 해당 분기를 완벽하게 탐색하는 방법

즉, 깊게(deep) 탐색하는 것이다! 사용하는 경우 : 모든 노드를 방문하고자 하는 경우에 이 방법을 선택한다. (깊이 우선 탐색이 너비 우선 탐색보다 조금 더 간단하다.)

2. 너비 우선 탐색 (BFS, Breadth-First Search)

루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 인접한 노드를 먼저 탐색하는 방법

즉, 넓게(wide) 탐색하는 것!! 사용하는 경우 : 두 노드 사이의 최단 경로 혹은 임의의 경로를 찾고싶을 때 이 방법을 선택한다.

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Reference

• https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/13/data-structure-graph.html

• 2019 14